Pós-Graduação em
Matemática Aplicada

Sobre o Curso

Corpo Docente

Pesquisa

Estrutura Curricular

Exames de Qualificação

Dissertações Defendidas

Regulamento

Processo seletivo

Programa de Verão

Coordenação

  Estrutura Curricular

O curso funciona em regime semestral (março/julho, agosto/dezembro). Os estudantes de mestrado devem cursar duas disciplinas por semestre. É necessário ter coeficiente de rendimento acumulado de no mínimo dois, em uma escala de zero a três (grau B, entre A e D). O tempo regular para o cumprimento de todos os requisitos é de 24 meses.

Os conhecimentos, em nível de graduação, requeridos aos candidatos são equivalentes a quatro semestres de Cálculo, um semestre de Álgebra Linear e o primeiro curso de Análise na Reta. O IM-UFRJ oferece curso de nivelamento em Análise na Reta nos meses de janeiro e fevereiro, como parte do Programa de Verão. Um ótimo domínio de Análise na Reta é esperado e necessário para o Mestrado. Na dúvida, é recomendado que o aluno seja aprovado no Exame de Qualificação antes de ser aceito no programa.

Para obter o título de Mestre em Matemática Aplicada o candidato deverá:


Ementas Disciplinas
Álgebra Linear - MAE 709
  1. Ementa: - Espaços Vetoriais e Transformações Lineares. Bases e Dimensão. Determinantes e Formas Multilineares. Produto Interno. Espaço Dual. - Auto-Valores e Auto-Vetores, Complexificação. Operadores Simétricos, Unitários e Normais. Decomposição Espectral. Forma Canônica de Jordan. Decomposição em Valores Singulares. Normas de Matrizes. Condicionamento.
  2. Referências:
    G. Strang, Linear Algebra and its Aplications, Academic Press, 1976.
    P. Halmos, Finite Dimensional Vector Spaces, Springer-Verlag, 1974.
    M. Gelfand, Lectures on Linear Algebra, Interscience Publ., NY, 1961.
    K. Hoffman & R. Kunze, Álgebra Linear, Polígono, São Paulo, 1971.
    B. Noble & J. W. Daniel, Álgebra Linear Aplicada, Prentice/Hall do Brasil, Segunda Edição, 1986.

Cálculo Avançado I - MAE 701
  1. Ementa: - Topologia do RN: Normas, Distâncias, Vizinhanças, Conjuntos Abertos e Fechados, Continuidade, Conjuntos Conexos. Compacidade. Teorema de Borel-Lebesgue. Continuidade Uniforme. Seqüências. Teorema do Ponto Fixo de Banach. - Cálculo Diferencial em RN: Conceito de Diferencial, Regra da Cadeia. Relações entre Derivadas de Gateaux e de Fréchet. Introdução ao Cálculo das Variações. Teorema dos Acréscimos Finitos. Derivadas de Ordem Superior e Polinômios de Taylor. Teorema da Função Inversa e Formas Locais. Multiplicadores de Lagrange.
  2. Referências:
    R. Courant & F. John, Introduction to Calculus and Analysis, vol.2, Wiley, 1974.
    L. H. Loomis & S. Sternberg, Advanced Calculus, Addison-Wesley, 1968.
    E. L. Lima, Curso de Análise, vol.2, Projeto Euclides, IMPA, 1985.
    R. Cipolatti, Cálculo Avançado I, Textos de Matemática Aplicada, vol.1, IM-UFRJ, 2000.

Cálculo Avançado II - MAE 702
  1. Ementa: - Integração Múltipla: Critério de Riemann-Lebesgue, Medida Nula. Integrais Iteradas. O Jacobiano e Mudanças de Variáveis. Integrais de Linha e de Superfície. Potencial, Teoremas de Stokes e Gauss. Noções sobre Formas Diferenciais.
  2. Referências:
    R. Courant & F. John, Introduction to Calculus and Analysis, vol.2, Wiley, 1974.
    L. H. Loomis & S. Sternberg, Advanced Calculus, Addison-Wesley, 1968.
    E. L. Lima, Curso de Análise, vol.2, Projeto Euclides, IMPA, 1985.

Cálculo Avançado III - MAE 703
  1. Ementa: - Funções Holomorfas, Séries de Potências, Funções Elementares, o Logaritmo. - Teorema de Cauchy, Fórmula Integral de Cauchy, Aplicação à Determinação da Série de Taylor de uma Função Holomorfa. - Singularidades, Zeros e Polos, Aplicações Locais, Princípio do Máximo, Cálculo dos Resíduos, Princípio do Argumento, Cálculo de Integrais Definidas.
  2. Referências:
    R. Courant & F. John, Introduction to Calculus and Analysis, vol.2, Wiley, 1974.
    L. V. Ahlfors, Complex Analysis, Mc Graw-Hill, NY, 1966.
    H. Cartan, Théorie Elementaire des Fonctions Analytiques d'une ou plusieurs Variables Complexes, Hermann, Paris, 1961.

Álgebra I - MAE 710
  1. Ementa: - Anel, Corpo, Subanel, Ideais e Anéis Quocientes. - Anel de Polinômios em uma variável sobre um corpo, Algoritmo de Divisão, Algoritmo do Máximo Divisor Comum, Teorema de Fatoração Única, Lema de Gauss, Critérios de Irredutibilidade. - Grupos, Grupos de Simetria, Subgrupos, Homomorfismos, Subgrupos Normais, Grupos Quocientes, Grupos de Permutação, Grupos Solúveis. - Extensões algébricas e transcendentes de subcorpos de C, Multiplicidade do Grau de extensões, Extensão de Imersões, Corpos de Decomposição, Teorema Fundamental da teoria de Galois, Resolubilidade por Radicais.
  2. Referências:
    G. Birkhoff & S. MacLane; Álgebra Moderna, Editorial Vicens-Vives, Barcelona, 1963.
    S. Lang; Álgebra, Addison-Wesley, 1972.

Álgebra Linear Computacional - MAE 720
  1. Ementa: - Aritmética Finita. Erro de arredondamento. Condicionamento de Sistemas Lineares. - Decomposição em Valores Singulares. Decomposição de Schur. - Métodos diretos para resolução de Sistemas Lineares. Método de Gauss e Decomposição QR. Análise de Estabilidade. - Métodos Iterativos: Jacobi, Gauss-Siedel, SSOR. Gradientes conjugados e generalizações. - Mínimos Quadrados. Resolução via Equação Normal e via QR. - Cálculo de Autovalores e Autovetores. Estabilidade. Método da Potência Inversa e QR.
  2. Referências:
    G. Golub & Van Loan; Matrix Computations, John Hopkins University Press, Baltimore, Maryland, 1987.
    G. W. Stewart; Introduction to Matrix Computations, Academic Press, NY, 1973.

Análise Funcional - MAE 732
  1. Ementa: - Exemplos de Espaços vetoriais de Dimensão Infinita. Equivalência entre Normas e Compacidade. - Espaços de Hilbert: l2 e L2 . Projeção em um Convexo Fechado e Dualidade. Bases Ortonormais e Caracterização de Espaços de Hilbert.Séries de Fourier. - Espaços Métricos Completos. Espaços de Banach: Teorema de Baire e conseqüências. Dualidade: Teorema de Hahn-Banach. - Topologia. Compacidade. Topologia Fraca. Caracterização de Espaços Reflexivos. - Operadores Compactos e Teorema Espectral. - Espaços de Sobolev sobre R. Formulação de Problemas de Valores de Contorno em Dimensão 1. Formulação de problemas de Valor Inicial em uma Dimensão Espacial.
  2. Referências:
    H. Brézis; Analyse Fonctionnelle, Théory et Applications, Masson, Paris, NY, 1983.
    M. Reed & B. Simon; Methods of Modern Mathematical Physics; Vol. 1 – Function Analysis, Academic Press, New York and London, 1972.

Análise Numérica - MAE 722
  1. Ementa: - Esquemas de Diferenças para a Equação de Poisson. Estimativa de Erro e Convergência. Solução direta de Sistemas Lineares - Eliminação de Gauss. Métodos Iterativos - Métodos de relaxação e de gradientes conjugados. - Equação Parabólica. Esquemas implícitos e explícitos em Diferenças Finitas. Estimativas de Erro, Estabilidade e Convergência. O Problema Misto de Valor Inicial e Condições de Fronteira. - Equação Hiperbólica de Primeira Ordem. Esquemas em Diferenças Finitas explícitas. Dipersão e Difusão. Estabilidade e Convergência. - Introdução a tópicos especiais: Malhas não uniformes, Equação de Advecção e Difusão, Problemas não lineares.
  2. Referências:
    G. E. Forsyth; Finite-Difference Methods for PDEs, N. Y., J. Wiley, 1960.
    D. Paceman; Fundamentals of Numerical Reservoir Simulation, Elsevier Sci. Publ. Co., 1977.
    S. Hariharan & T. Molden (eds.); Numerical Methods for Partial Differential Equations, Pitman Research Notes in Math. Series, 1986.

Equações a Derivadas Parciais - MAE 730
  1. Ementa: - Equações de Primeira Ordem; Método das Características. Teorema de Cauchy-Kovalevski. - Equações do calor, da onda, do potencial e de Schrödinger. - Análise de Fourier. - Transformada de Fourier.
  2. Referências:
    S. Godunov &; Equações da Física Matemática, Edições Mir, Moscou, 1973.
    R. Iório & V. Iório; Equações Diferenciais Parciais, uma Introdução, Coleção Matemática Universitária, IMPA, 1991.
    G. B. Folland; Introduction to Partial Differential Equations, Math. Notes, Princeton University Press, 1976.
    L. C. Evans; Partial Differential Equations - Lectures Notes, Vols. 3A and 3B, Berkeley Mathematics, 1994.

Medida e Integração - MAE 733
  1. Ementa: - Medida e medida exterior: medidas em anéis e σ-álgebras. Propriedades. Medida exterior. Medida de Lebesgue em RN . Caracterização. Extensão de medidas. Construção das medidas de Stieltjes. - Funções mensuráveis e Integração: funções mensuráveis, propriedades, conjuntos não mensuráveis a Lebesgue. A integral de Lebesgue. Teoremas de Convergência. Os Espaços Lp . Completude e separabilidade. Duais e Isometrias. Medidas produto. Teorema de Fubini e Tonelli. Aplicações. - Medidas com sinal: Teoremas de decomposição da Hahn e Jordan. Continuidade absoluta. Teorema de Radon-Nikodym. Teorema de decomposição de Lebesgue. - Diferenciação: Derivação de medidas. Diferenciação de funções. Teorema de Lebesgue. Funções absolutamente contínuas e a integral definida.
  2. Referências:
    P. R. Halmos; Mesure Theory, Springer-Verlag, NY, 1974.
    A. J. Weir; Lebesgue Integration and Mesure, Cambridge University Press, 1973.

Métodos Topológicos - MAE 752
  1. Ementa: - Variedades diferenciáveis, Funções diferenciáveis e subvariedades. Espaço Tangente. Partição da Unidade. Fibrados Vetoriais. Integração de Campos Vetoriais. - Teorema de Sard. Fibrado de jatos. Topologia C°° de Whitney. Transversalidade. Teorema de mergulho de Whitney. Teoria de Morse. Teorema da vizinhança tubular.
  2. Referências:
    M. Gulubitsky & V. Guillemin; Stable Mappings and their Singularities, Graduate Texts in Math., 14 Springer-Verlag, 1973.
    H. Abraham & J. L. Hobbin; Transversal Mapping and Flows, W. A. Benjamin, New York, 1967.
    E. L. Lima; Variedades Diferenciais, IMPA, 1973.

Teoria das Probabilidades - MAD 790
  1. Ementa: - Espaços de Probabilidades. - Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidades. - Valores Esperados. - Funções Geradoras e Funções Características. - Principais Distribuições de Probabilidades. - Distribuições e Esperanças condicionais. - Distribuições infinitamente divisíveis. - Lei dos Grandes Números. - Teoremas Limites. - Elementos de cadeias de Markov e Processos Estocásticos.
  2. Referências:
    B. James; Probabilidade: Um curso de Nível Intermediário, Projeto Euclides, IMPA, 1981.

Programação Matemática - MAE 740
  1. Ementa: - Introdução à programação Matemática contínua e discreta. - Programação linear, Algoritmo básico do SIMPEX, Análise e aspectos computacionais. - Programação não linear. - Problemas sem restrições: métodos básicos de busca linear (gradiente, Newton, Quasi-Newton, gradientes conjugados) e de regiões de confiança. - Problemas com restrições: métodos indiretos (penalização, barreira, lagrangeano aumentado) e diretos (projeção, sequencial quadrático).
  2. Referências:
    M. S. Bazaraa & J. J. Jarvis; Linear Programming and Network Flows, N. Y., J. Wiley, 1977.
    D. G. Luenberger; Linear and Nonlinear Programming, 2nd Edition, Addison-Wesley co., 1984.

Introdução aos Sistemas Dinâmicos - MAE 750
  1. Ementa: - Sistemas lineares com coeficientes constantes: Sistemas lineares com Autovalores Reais, Sistemas lineares com Autovalores Complexos, Exponencial de operadores lineares, Classificação dos Sistemas lineares homogêneos a coeficientes constantes 2x2 e 3x3. Métodos de variação de parâmetros. - Teorema de existência e unicidade de solução. Fluxo associado. Continuidade e diferenciabilidade do fluxo. Soluções maximais. - Poços, Fontes, Singularidades hiperbólicas, Genericidade. - Estabilidade no sentido de Liapunov. - Teorema de Poincaré-Bendixon. - Atratores Periódicos - Pertubações e estabilidade.
  2. Referências:
    M. Hirsch & S. Smale; Differencial Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press, 1974.

Teoria dos Grafos - COS 755
  1. Ementa: - Introdução: Grafos e Sub-grafos, Isomorfismos, Matrizes de adjacência e incidência, Caminhos e ciclos. - Árvores: Caracterização de árvores, Cortes de arestas, Cortes de vértices. - Conectividade: Conectividade de vértices e arestas, Blocos. - Passeios de Euler e Ciclos de Hamilton. - Emparelhamentos: Caracterização de emparelhamentos máximos, Emparelhamentos e coberturas, Emparelhamentos perfeitos. - Coloração de arestas: índice cromático e Teorema de Vizing. - Conjuntos independentes e cliques, Teoria de Ramsey. - Coloração de vértices: número cromático, Teorema de Brooks, Conjectura de Hajos, Polinômios cromáticos. - Grafos planares: Grafos planos, Grafos duais, Pontes, Teorema de Kuratowkski, Teorema das 5 cores. - Grafos direcionados: Caminhos e ciclos direcionados, Facho e redução transitivas, Conectividade de dígrafos.
  2. Referências:
    J. A. Brandy & U. S. R. Murty; Graph Theory with Applications, North-Holland, 1976.
    L. W. Bweineke & R. J. Wilson, eds; Selected Topics in Graph Theory, Academic Press, 1983.
    B. Bollobás; Graph Theory: An Introductory Cours, Springer-Verlag, 1979.
    R. Gould; Graph Theory, The Benjamin/Cummings Publ., 1988.


 
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